대단원 정리하기 · Ⅱ. 문자와 식

CONCEPT MAP · 개념 지도

대단원 한눈에 보기

문자와 식, 일차방정식 — 두 중단원이 어떻게 연결되어 있는지 시각적으로 살펴봅니다.

CORE CONCEPTS · 핵심 개념

두 중단원의 핵심 정의

자주 잊는 정의들을 한 자리에 모았습니다.

CHAPTER 1

문자의 사용과 식

문자식 : 수 대신 문자를 사용하여 수량 관계를 일반적으로 나타낸 식.예: 한 권 $a$원 공책 $5$권 → $5a$원

곱셈 기호 생략 : (수)$\times$(문자), (문자)$\times$(문자)에서 $\times$를 생략. 수는 앞에, 같은 문자는 거듭제곱으로.$3 \times a = 3a$, $a \times a = a^2$

나눗셈 기호 생략 : $\div b$ 는 $\dfrac{1}{b}$ 를 곱하는 것으로 → 분수 꼴.$a \div 3 = \dfrac{a}{3}$

식의 값 : 문자에 수를 대입해 얻은 결과. 음수 대입 시 반드시 괄호로!$x=-2$일 때 $-3x+7 = -3(-2)+7 = 13$

항 · 계수 · 상수항 : $ax + b$에서 $ax$, $b$는 항, $a$는 $x$의 계수, $b$는 상수항.

동류항 : 문자와 차수가 같은 항. 동류항끼리만 더하고 뺄 수 있다.$3x$와 $-7x$는 동류항. $x$와 $x^2$는 동류항이 아님.

CHAPTER 2

일차방정식

등식 : 등호 $=$로 두 식을 연결한 것. 좌변 · 우변 · 양변.

방정식 : 미지수 $x$의 값에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 등식. 참이 되게 하는 $x$값을 해(또는 근)라 함.$2x = 6$ → $x = 3$이 해

항등식 : 모든 $x$에 대해 항상 성립하는 등식.$2(x+3) = 2x + 6$

등식의 성질 : 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 (0이 아닌 수로) 나누어도 등식은 성립.

이항 : 등식의 어느 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것.$2x = 5 + x$ → $2x - x = 5$

일차방정식 : 정리했을 때 ($x$에 관한 일차식) $= 0$ 꼴, 즉 $ax + b = 0$ ($a \neq 0$).해: $x = -\dfrac{b}{a}$

FORMULAS · 핵심 공식

반드시 외울 여섯 공식

실제 문제에서 가장 자주 적용되는 공식들.

FORMULA 01

분배법칙

$a(b + c) = ab + ac$
$a(b - c) = ab - ac$

괄호 밖의 수를 괄호 안 모든 항에 곱한다. 부호까지 분배.

$3(2x - 5) = 6x - 15$

FORMULA 02

동류항 합치기

$ax + bx = (a + b)x$

문자가 같은 항끼리는 계수만 더하면 됨. 문자 부분은 그대로.

$3x + 5x - 2x = (3+5-2)x = 6x$

FORMULA 03

등식의 성질

$a = b$이면
$a \pm c = b \pm c$
$ac = bc$, $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$ ($c \neq 0$)

양변에 같은 연산을 하면 등식은 유지된다. (단, 0으로 나누지 않기)

$x + 3 = 7$ → 양변 $-3$ → $x = 4$

FORMULA 04

이항 (전기 콘센트)

$+a$를 옮기면 → $-a$
$-a$를 옮기면 → $+a$

등호를 건너가면 부호가 바뀐다. 등식의 성질에서 유래.

$2x + 5 = 11$ → $2x = 11 - 5$ → $2x = 6$

FORMULA 05

일차방정식 표준형

$ax + b = 0$ ($a \neq 0$)
해: $x = -\dfrac{b}{a}$

최종적으로 모든 일차방정식은 이 꼴로 정리된다.

$3x - 12 = 0$ → $x = \dfrac{12}{3} = 4$

FORMULA 06

분수·소수 처리

분수 → 분모의 LCM 곱하기
소수 → $10^n$ (자릿수) 곱하기

계수를 모두 정수로 만든 다음 풀이를 진행한다. 양변에 같은 수.

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ → $\times 6$ → $3x + 2x = 30$

SOLVING FLOW · 풀이 흐름

일차방정식의 5단계 풀이

어떤 일차방정식이든 이 순서대로만 풀면 답이 나옵니다.

5단계 표준 풀이법

아래 순서가 일차방정식을 푸는 가장 안전한 길입니다. 한 단계도 건너뛰지 마세요.

1

분수·소수 제거

$\times$ LCM
또는 $\times 10^n$

2

괄호 풀기

분배법칙
$a(b+c) = ab+ac$

3

이항

$x$항 → 좌변
상수 → 우변

4

동류항 정리

$ax = b$ 꼴

5

양변을 $a$로 나누기

$x = \dfrac{b}{a}$
검산 필수!

APPLICATIONS · 활용 5유형

반드시 알아둘 활용 다섯

시험에 나오는 일차방정식 활용은 결국 이 다섯 가지 유형의 변형입니다.

TYPE 1 · 연속수·자릿수

연속한 수의 합

세 연속 자연수 = $x-1,\ x,\ x+1$
네 연속 짝수 = $x,\ x+2,\ x+4,\ x+6$

예: 연속한 세 자연수의 합이 48 → $3x = 48$ → $x = 16$

TYPE 2 · 나이

나이 계산

$x$년 후: 모두에게 $+x$
나이 차이는 시간에 따라 변하지 않음

예: 어머니 42, 아들 12 → $x$년 후 어머니가 아들의 2배 → $42+x = 2(12+x)$

TYPE 3 · 거리·속력·시간

거속시

거리 $=$ 속력 $\times$ 시간
시간 $=$ 거리 $\div$ 속력
속력 $=$ 거리 $\div$ 시간

단위 통일이 핵심: 시간/분, km/m. 분 ↔ 시간 변환에 주의!

TYPE 4 · 농도·비율

소금물 농도

소금량 $=$ 소금물 $\times$ 농도/100
물 추가·증발 시 소금량 불변

$10\%$ 소금물 300g + 물 $x$g → $6\%$가 됨 → 소금량 30g 고정

TYPE 5 · 원가·정가·할인

가격 계산

정가 $=$ 원가 $\times (1 + \text{이익률})$
할인가 $=$ 정가 $\times (1 - \text{할인율})$
이익 $=$ 판매가 $-$ 원가

원가 $x$원에 20% 이익 → 정가 $1.2x$. 정가 7,200원 → $x = 6,000$원

QUICK RULES · 계산 규칙

문자식 계산 총정리

한 표로 정리한 핵심 규칙.

상황	규칙	예시 / 주의
곱셈 기호 생략	수 × 문자 → 수 앞으로	$3 \times x = 3x$ (X는 안 씀)
같은 문자의 곱	거듭제곱으로	$a \times a \times a = a^3$
나눗셈 기호 생략	분수로 변환	$a \div 5 = \dfrac{a}{5}$
음수 대입	반드시 괄호 사용	$x = -2$ → $-3x = -3 \times (-2) = 6$
분배법칙	괄호 밖 수를 안의 모든 항에	$-2(x - 3) = -2x + 6$
동류항	문자·차수 동일한 항만 합산	$3x + 5x = 8x$ (✓), $3x + 5x^2$ (불가)
등식의 성질	양변 동시 ±×÷ (0 나눗셈 X)	등식은 저울처럼 균형 유지
이항	변을 바꾸면 부호도 바꿈	$+a → -a$, $-a → +a$
분수가 있는 방정식	분모의 LCM을 양변에	$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3}$ → $\times 6$
소수가 있는 방정식	$10^n$ ($n =$ 소수점 자릿수)을 양변에	$0.3x = 0.6$ → $\times 10$ → $3x = 6$
해의 검산	구한 값을 원래 식에 대입	좌변 = 우변이면 OK
해가 없는 경우	$0 \cdot x = c$ ($c \neq 0$)	거짓 등식 → 해 없음
해가 무수히 많은 경우	$0 \cdot x = 0$	항등식 → 모든 $x$가 해

COMMON MISTAKES · 자주 헷갈리는 것

시험에 잘 나오는 함정 여섯

학생들이 가장 자주 틀리는 6가지 함정.

음수 분배의 부호 실수

$-2(x - 3) = -2x - 6$

$-2(x - 3) = -2x + 6$

$-2$를 $-3$에 곱하면 $+6$. 음수 × 음수 = 양수. 분배 시 두 번째 항의 부호 변화에 주의.

음수 대입 시 괄호 빠뜨림

$x = -2$ → $-3x = -3 \times -2 = -32$ (잘못)

$x = -2$ → $-3x = -3 \times (-2) = +6$

대입할 때 항상 괄호로 감싼다. 부호와 숫자가 한 덩어리.

이항할 때 부호 그대로

$2x + 5 = 11$ → $2x = 11 + 5$

$2x + 5 = 11$ → $2x = 11 - 5 = 6$

이항은 등호를 건너갈 때 부호가 바뀜. 양변에 같은 수를 빼는 것과 같음.

분수 방정식, 일부만 곱하기

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{x+3}{4}$ → $2x = x + 3$

$\times 4$를 양변 모두 → $2x = x + 3$

양변에 같은 수를 곱해야 등식 유지. 좌변만 분모 없애고 우변은 그대로 두면 안 됨.

동류항 잘못 짝지음

$3x + 5 + 2x^2 = 5x + 5$

$3x + 5 + 2x^2 = 2x^2 + 3x + 5$

$x$와 $x^2$은 동류항이 아니므로 합칠 수 없음. 차수가 같아야 동류항.

거리 단위 통일 안 함

속력 km/h × 시간 분 = 거리

시간을 시간 단위로 통일 (20분 = $\dfrac{1}{3}$시간)

속력·시간 단위가 다르면 거리가 엉뚱하게 나옴. 항상 단위를 먼저 맞추기.

QUICK REFERENCE · 빠른 참조

한 줄 체크리스트

시험 직전에 빠르게 훑어볼 수 있는 핵심 사실들.

📌 외워 두면 좋은 것들

아래 사실 12가지를 즉답할 수 있다면 단원 완성!

EXPR

$3 \times x = 3x$, $a \div b = \dfrac{a}{b}$

SUBSTITUTE

음수 대입 → 괄호로!

LIKE TERMS

문자·차수 같은 것만 합치기

DISTRIB

$a(b+c) = ab + ac$

EQUATION

$x$에 따라 참/거짓이 갈리는 등식

IDENTITY

모든 $x$에서 성립 → 항등식

MOVE

이항 시 부호 반대로

STANDARD

$ax + b = 0$ → $x = -\dfrac{b}{a}$

FRACTION

양변에 분모의 LCM 곱하기

DECIMAL

양변에 $10^n$ 곱하기

NO SOLUTION

$0 \cdot x = c \neq 0$

INFINITE

$0 \cdot x = 0$ → 모든 $x$

WHAT'S NEXT · 다음 대단원

다음은 좌표평면과 그래프

식에서 그림으로 — 방정식이 평면 위 점·선이 되어 모습을 드러내는 단계.

Ⅲ. 좌표평면과 그래프 — Coordinates & Graphs

지금까지 풀어 온 일차방정식은 모두 "어떤 수가 답"이라는 형태였습니다. 다음 단원에서는 같은 식을 평면 위 점들의 모임으로 보게 됩니다. $y = 2x + 1$은 더 이상 풀어야 할 식이 아니라, 좌표평면을 가로지르는 직선이 됩니다.

변수가 두 개($x$와 $y$)로 늘어나고, 그 관계가 시각적으로 펼쳐집니다. 좌표·정비례·반비례까지 — 식과 그림이 서로 번역되는 흥미로운 세계로 들어갑니다.

$(x, y) = (3, 2)$

$y = 2x$ (정비례)

$y = \dfrac{6}{x}$ (반비례)

📚 준비 사항: 식의 값을 자유롭게 계산할 수 있어야 합니다. 위 정리하기로 부족함을 느꼈다면 1.2 (식의 값), 2.3 (일차방정식의 풀이)을 다시 한 번 보세요.